Los procesos del límite fundamentales del cálculo son la integración, derivación o diferenciación. Casos aislados de estos procesos del cálculo (que culminaron con el trabajo de Arquímedes) fueron considerados aun en la antigüedad, y con frecuencia creciente en los siglos XVI y XVII. Sin embargo, el desarrollo sistemático del cálculo, no iniciado sino hasta el siglo XVII, es usualmente atribuido a los dos grandes pioneros de la ciencia, Newton y Leibnitz. La clave para este desarrollo sistemático es la compresión de que los procesos de derivación e integración, que fueron tratados separadamente, están íntimamente relacionados al ser recíprocos uno del otro.
Una evaluación histórica imparcial de los méritos no puede atribuir la invención del cálculo a repentinos detalles inexplicables de genio por parte de uno o dos individuos. Muchas gentes, tales como Fermat, Galileo y Kepler, estimulados por las nuevas ideas revolucionarias en la ciencia, contribuyeron a los fundamentos del cálculo. De hecho, el profesor de Newton, Barrow, estuvo casi en posesión completa de la compresión básica de la reciprocidad entre derivación e integración, que es la piedra angular del cálculo sistemático de Newton y Leibnitz. Newton expuso los conceptos de manera un poco más clara; por otra parte, la ingeniosa notación de Leibnitz y sus métodos de cálculo son altamente sugestivos y siguen siendo indispensables. El trabajo de estos dos hombres estimulo inmediatamente las ramas superiores del análisis, incluyendo el cálculo de variación y la teoría de ecuaciones diferenciales, y condujo a innumerables aplicaciones en las ciencias naturales. Muy curioso resulta que, no obstante que Newton y Leibnitz y sus sucesores inmediatos hicieron tales variados usos de la poderosa herramienta puesta en sus manos, ninguno consiguió clasificar completamente los conceptos básicos involucrados en sus trabajos. Sus argumentos emplearon “cantidades infinitamente pequeñas” en formas que son lógicamente insostenibles y no convincentes. La clarificación aconteció a fines del siglo XIX con la cuidadosa formulación del concepto de límite y con el análisis del continuo de números.
